ไวยากรณ์ของการเป็นสมาชิก
แตกต่างจากคู่ลำดับ $(a, b)$ หรือ $n$-tuple ที่ตำแหน่งมีความสำคัญ แต่เซต $\{a, b\}$ ถูกกำหนดอย่างเดียวโดยองค์ประกอบของมัน ดังนั้น $\{a, b\} = \{b, a\}$ การไม่สนใจลำดับทำให้เราสามารถโฟกัสไปที่ เอกลักษณ์ ของการเป็นสมาชิก
การรวมตัว $A \subseteq B$ หมายความว่า ทุกองค์ประกอบของ $A$ อยู่ภายใน $B$ อย่างไรก็ตาม เซตย่อยแท้ $A \subset B$ ต้องการมากกว่านั้น: $B$ ต้องมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น ไม่ใช่ ใน $A$
พาวเวอร์เซต พาวเวอร์เซต $\mathcal{P}(S)$ คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $S$ หาก $|S| = n$ แล้ว $|\mathcal{P}(S)| = 2^n$ ซึ่งแสดงถึงระดับที่ขยายตัวอย่างรวดเร็วของโอกาสพื้นฐาน
สะพานตรรกะ: กลไกของเซต
การดำเนินการบนเซตคือการแสดงออกทางกายภาพของความคิดตรรกะ:
- ยูเนียน ($A \cup B$): ตรรกะ หรือ. องค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของ $A$ หรือ $B$
- อินเตอร์เซกชัน ($A \cap B$): ตรรกะ และ. องค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของทั้ง $A$ และ $B$
- เซตที่แยกจากกัน ($A \cap B = \emptyset$): เงื่อนไขตรรกะที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้: ฐานข้อมูลนักศึกษา
พิจารณาฐานข้อมูล $D_1 = \{\text{Garth, Erin, Marty}\}$ เราจะนิยามคำพยากรณ์สองประการ:
- เซต $A$: นักศึกษาที่สูงกว่า 5'10" $\to \{\text{Garth, Marty}\}$
- เซต $B$: นักศึกษาที่ชื่อจบด้วยตัว 'y' $\to \{\text{Marty}\}$
พาวเวอร์เซต อินเตอร์เซกชัน $A \cap B$ ได้ผลลัพธ์เป็น $\{\text{Marty}\}$ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าตรรกะ "และ" ช่วยกรองประชากรตามเกณฑ์ที่ทับซ้อนกัน มาร์ตี้เป็นนักศึกษาเพียงคนเดียวที่สอดคล้องกับทั้งสองเงื่อนไข คือ สูงและชื่อจบด้วยตัว 'y'
$x \in A \cap B \iff (x \in A) \land (x \in B)$